Question

（2013•永春縣質檢）如圖，拋物線y=-x²+x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點B的坐標為B（-2，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P在拋物線上，且點P的橫坐標為x（-2＜x＜0），設△PBC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值；
（3）點M（m，n）是直線AC上的動點．設m=2-a，如果在兩個實數m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入拋物線解析式，列出關于c的方程，通過解方程可以求得c的值；
（2）連接BC，過點P作PF∥y軸，交BC與點F．點P的橫坐標為x，表示出F（x，3x+6），P（x，-x²+x+6），最后表示出PF的長，從而表示出S關于x的函數關系，然后求二次函數的最值即可．
（3）點M（m，n）是直線AC上的動點，由一次函數解析式可知，設m=2-a，則M（2-a，2a+2），依題意m≠n，a≠0．根據a＞0和a＜0兩種情況，分別求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，∵拋物線y=-x²+x+c與x軸交于A，B兩點，點B的坐標為B（-2，0）．
所以，-（-2）²+（-2）+c=0，即-6+c=0，
解得，c=6．
則該拋物線解析式是y=-x²+x+6；

（2）由（1）知，該拋物線解析式是y=-x²+x+6．
易求C（0，6）．
設直線BC的解析式為y=k₁x+6（k₁≠0），則-2k₁+6=0，
解得k₁=3，
∴直線BC的解析式為y=3x+6．
∵點P的橫坐標為x（-2＜x＜0），
∴F（x，3x+6），P（x，-x²+x+6），
∴PF=-x²+x+6-（3x+6）
=-x²-2x．
∴S=S_△BPF+S_△PCF，
=

1

2

|PF|•|OB|=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵-2＜x＜0，
∴當x=-1時，S_最大=1．
綜上所述，S與x之間的函數關系式是S=-x²-2x[或S=-（x+1）²+1]，S的最大值是1；

（3）由（1）知，該拋物線解析式是y=-x²+x+6．則A（3，0）．易求C（0，6）．
設直線AC的解析式為y=k₂x+6（k₁≠0），則3k₂+6=0，
解得k₂=-2，
∴直線AC的解析式為y=-2x+6．
由已知M（2-a，2a+2），易知，m≠n，2-a≠2a+2，則a≠0．
若a＞0，m＜1＜n，由題設m≥0，n≤6，
則

2-a＜1 2a+2≤6

，
解不等式組的解集是：1＜a≤2；
若a＜0，n＜1＜m，由題設n≥0，m≤6，
則

2-a＞1 2a+2≥6

，
解得：-2≤a＜1；
綜上：a的取值范圍是：-2≤a＜0，0＜a≤2．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據二次函數圖象上點的坐標特征求得二次函數解析式，由“兩點法”求直線解析式，根據平行于x軸直線上點的坐標特點，表示三角形的面積，根據二次函數的性質求最大值．本題還考查了分類討論的思想．