Question

【題目】如圖1．△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E，F作射線GA的垂線，垂足分別為P，Q．

（1）求證：△EPA≌△AGB：

（2）試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖2．若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結論你能判斷EH與FH的大小關系嗎？并說明理由：

（4）在（3）的條件下，若BC＝10，AG＝12．請直接寫出S△AEF＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論：EP＝FQ，證明見解析；（3）結論：EH＝FH，理由見解析；（4）60．

【解析】

（1）根據等腰Rt△ABE的性質，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根據AAS推出△EPA≌△AGB．

（2）根據全等三角形的性質推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代換即可得出答案．

（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根據AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH與FH的大小關系．

（4）根據全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根據三角形面積公式求出即可．

解：（1）如圖1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，

∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，

∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，

∴∠PEA＝∠BAG，

在△EPA和△AGB中，

∴△EPA≌△AGB（AAS），

（2）結論：EP＝FQ，

證明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，

∴EP＝AG，

如圖1，∵∠FAC＝90°，FQ⊥AG，AG⊥BC，

∴∠FQA＝∠FAC＝∠CGA＝90°，

∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，∠FAQ+∠GAC＝90°，

∴∠AFQ＝∠GAC，

在△QFA和△GAC中，

∴△QFA≌△GAC（AAS），

∴AG＝FQ，

∴EP＝FQ；

（3）結論：EH＝FH，

理由：如圖，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，

∴∠EPH＝∠FQH＝90°，

在△EPH和△FQH中，

∴△EPH≌△FQH（AAS），

∴EH＝FH．

（4））∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，

∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，

∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA

＝S△AGB+S△AGC

＝S△ABC

＝×BC×AG

＝×10×12

＝60

故答案為：60．