Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為2，將線段OB繞著點O逆時針旋轉60°得到線段OC，連接BC．
（1）試判定四邊形OABC的形狀；
（2）求點O到BC的距離；
（3）以O為圓心，r為半徑作⊙O，根據⊙O與四邊形OABC四條邊交點的總個數，求相應r的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形OABC為菱形．首先△OAB是等邊三角形，然后根據旋轉的性質可以得到OC=OB，而旋轉角為60°，由此可以得到四邊形OABC的形狀；
（2）如圖，過O作OD⊥BC于D，由于△OCB是等邊三角形，由此即可求出OD的長度，也就求出了點O到BC的距離；
（3）根據（2）可以知道O到BC的距離，然后結合圖形即可解決問題．
解答：解：（1）四邊形OABC為菱形，
∵△OAB是等邊三角形，將線段OB繞著點O逆時針旋轉60°得到線段OC，
∴OC=OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∴四邊形OABC為菱形；

（2）如圖，過O作OD⊥BC于D，
∵△OCB是等邊三角形，OB=2，
∴DB=OB，
∴OD=，
即點O到BC的距離為；

（3）當0＜r＜時，⊙O與四邊形OABC各邊共有2個交點；
當r=時，⊙O與四邊形OABC各邊共有4個交點；
當＜r＜2時，⊙O與四邊形OABC各邊共有6個交點；
當r=2時，⊙O與四邊形OABC各邊共有3個交點；
當r＞2時，⊙O與四邊形OABC各邊共有0個交點．
點評：此題分別考查了旋轉的性質、菱形的性質及直線與圓的位置關系，同時也利用解直角三角形的知識，綜合性比較強，對于學生的要求比較高．