Question

【題目】[探索發現]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經過多次操作發現，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.

[理解應用]

我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題

(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規作出這個三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).

（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑

[拓展延伸]

（3）如圖4,在中，己知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內部任意運動，則覆蓋不到的面積是

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）r=2；（3）.

【解析】

（1）由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖（見解析）即可；

（2）如圖（見解析），的最小覆蓋圓為的外接圓，由已知條件可得，則圓心角；連接OA、OB，過O作，由等腰三角形的性質可得，在中利用勾股定理求解即可；

（3）由已知條件可是直角三角形，利用的面積減去圓的面積即可得.

（1）由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心O，連接OC，則OC為半徑，畫圖如下：

（2）如圖，的最小覆蓋圓為的外接圓

連接OA、OB，過O作

（圓周角定理）

，則是等腰三角形

在中，

由勾股定理得：

解得：

故的最小覆蓋圓的半徑為2；

（3）

是直角三角形

又

故所求的面積為.