Question

如圖，直線l表示草原上一條河的河堤，在河堤的一側有兩個村莊A、B，它們到河堤l的距離分別為AC=30km，BD=40km，兩個村莊A、B之間的距離為50km．有一牧民騎馬從A村出發到B村，途中要到河邊給馬飲一次水．
（1）在圖中標出使牧民行駛距離最短的飲水點P；
（2）若他在上午8點出發，以每小時30km的平均速度前進，則他能否在上午10點30分之前到達B村．

Answer 1

分析：（1）要求牧民行駛距離最短的飲水點P，除非AP、BP的和為兩定點之間的距離，也即是P在兩定點A、B′的連線上．
（2）先根據勾股定理求出AB′的長，再求出所需時間，進行比較得出結論．

解答：解：（1）作點B關于直線l的對稱點B’，連接AB’交直線l于點P．（5分）

（2）作AE⊥BD于點E，
則DE=AC=30km，BE=40-30=10km，AE²=50²-10²=2400，B’E=70km，
∴BP+PA=AB’=

702+2400

=10

73

，（7分）
又30×2.5=75＜10

73

，（9分）
故牧民不能在10點30分之前到達B村．（10分）

點評：（1）最短路徑的數學問題．這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”，可以利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．
（2）時間=路程÷速度．本題求出AB′的長是解題的關鍵．