Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠B=60°，∠C=30°，AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，，Rt△ABE沿BC方向勻速運動，平移速度為每秒1個單位，當點E與點C重合時停止運動，在整個平移過程中，設△ABE與直角梯形ADCE重疊部分的面積為S，設運動時間為t秒．
（1）直接寫出當點E與點C重合時t的值；
（2）求S與t的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；
（3）點G為直線DF上一動點，當△ABE平移到點A與點D重合時，將△BDG繞點D逆時針旋轉60°，得到△B′DG′（B的對應點為B′，G的對應點為G′），△BGG′的面積能否等于？若能，請求CG′的長度，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件運用勾股定理和三角函數值求出CE的值，就可以求出t的值；
（2）分四種情況運用三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結論；
（3）根據旋轉的性質和等邊三角形的性質，運用三角形的面積公式建立方程，根據方程解的額情況就可以求出結論．
解答：解：（1）如圖1，∵AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，
∴AE∥DF，∠AEB=∠AEC=∠DFB=∠DFC=90°．
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AE=DF，AD=EF．
∵∠B=60°，∠C=30°，
∴∠BAE=30°，∠FDC=60°．
∵，
在Rt△ABE中由勾股定理，得
AE=3，AB=2，
∴DF=3
∵AB=AD，
∴AD=EF=2．
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
CF=3，CD=6，t=5÷1=5．

（2）如圖1，當0＜t≤時，
EE₁=t，B₁E=-t，GE=3-t，
∴S==；
如圖1，當＜t≤2時，
S==；
如圖2，當2＜t≤3時，
E₃F=t-2，B₃F=3-t，
∴FH=9-t，E₃C=5-t，
∴E₃S=，DH=3-9+t=-6，
∴DR=t-3
∴RH=t-3，
S=，
S=；
如圖3，當3＜t＜5時，
E₄C=5-t，E₄Q=，
∴A₄Q=，
∴PQ=，
∴A₄P=，
∴S=-，
S=．
綜上所述：S=．

（3）∵∠BAE=30°，∠FDC=60°，
∴∠BDG=30°．
∴∠BDG′=90°．
∵△DB′G′是由△DBG旋轉60°得到的，
∴∠GDG′=60°，DG=DG′
∴∠GDG′與∠FDC重合，△DGG′為等邊三角形
∴DG=GG′=DG′．
設DG=x，則DG′=x，CG′=6-x，
∴S_△DGG′=x²，S_△DGB=．
∵∠BDG′=90°，
∴△BDG′是直角三角形，
∴S_△BDG′=x．
∴x-x²=，
解得：x₁=x₂=1，
∴CG′=6-1=5
如圖5，當點G在FD的延長線上時，
S_△G′DB+S_△G′GD-S_△GDB=，
∴x+x²=，
x₁=-1-（舍去），x₂=-1+，
∴CG′=6+（-1+）=5+；
如圖6，當點G在DF的延長線上時，
S_△BGD+S_△DGG′-S_△BDG′=，
，
解得：x₁=1+，x₂=1-（舍去），
∵DG＞DF＞3，
∴x₁=1+（舍去）．

答：CG′的長度為5或5+．
點評：本題考查了矩形的性質，勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，旋轉的性質的運用和等邊三角形的性質的運用．解答時靈活運用直角三角形的性質是關鍵．