Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延長線交于點F，點E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當AB＝AC時，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切線（2）

【解析】

（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結論；（2）根據余角的性質和等腰三角形的性質得到∠F＝∠EDF，根據等腰三角形的性質得到DE＝EF＝3，根據勾股定理得到CD的長，再由相似三角形的性質即可得到結論．

（1）如圖，連接BD，

∵∠BAD＝90°，

∴點O必在BD上，即：BD是直徑，

∴∠BCD＝90°，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，

∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠F＝∠EDF，

∴DE＝EF＝6，

∵CE＝4，∠BCD＝90°，

∴∠DCE＝90°，

∴CD＝ ，

∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，

∴△CDE∽△CBD，

∴，

∴BD，

∴⊙O的半徑＝．