Question

觀察下列等式，回答問題．
16-1=15，25-4=21，36-9=27，49-16=33…
（1）第5個等式是______；
（2）用自然數n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出來的規律是______．

Answer 1

解：由16-1=15，4²-1²=3×5；
25-4=21，5²-2²=3×7；
36-9=27，6²-3²=3×9；
49-16=33，7²-4²=3×11；
可以看出：等式左邊：被減數的底數4，5，6，7…呈現的規律為：首項為4，等差為1的等差數列，所以第n項為：4+n-1=n+3；
減數的底數1，2，3，4…呈現的規律為：首項為1，等差為1的等差數列，所以第n項為：1+n-1=n；
等式右邊：5，7，9，11…呈現的規律是：首項為5，等差為2的等差數列，所以第n項為：5+2（n-1）=2n+3；
所以用自然數n表示上面一系列等式所反映的規律為：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
分析：將上述等式等價變換成4²-1²=3×5，5²-2²=3×7；6²-3²=3×9；7²-4²=3×11，得出等式兩邊個分項之間的關系式，分別推出第n項時各個分式的值，再按各個等式的格式推出規律為：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
點評：本題屬于規律型的，關鍵在于通過等價變換后，對各個等式中各個項呈現的不同規律，推出用自然數n表示的規律為：（n+3）²-n²=3（2n+3），期間用到的小知識點有等差數列，平方差等．