Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
（1）求證：直線ED是⊙O的切線；
（2）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；
（2）連接CB，過點O作OG⊥AC于點G，推出OG∥CB，得出，求出，設AG=3x，AO=5x，得出四邊形EGOD是矩形，求出DO=5x，GE=5x，AE=8x，證△AEF∽△DFO，求出，即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OD．

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，；
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵點D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切線；           
       
（2）解：連接CB，過點O作OG⊥AC于點G，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OG⊥AC，
∴OG∥CB，
∴，
∵5AC=3AB，
∴，
設AG=3x，AO=5x，
∵DE⊥AE，ED⊥DO，
∴四邊形EGOD是矩形，
∴EG=OD，AE∥OD，
∴DO=5x，GE=5x，AE=8x，
∵AE∥OD，
∴∠EAD=∠FDO，
∵∠AFE=∠DFO
∴△AEF∽△DFO，
∴，
∴，
∴．
點評：本題考查了切線的性質和判定，平行線的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，題目比較好，有一定難度．