Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，過 A、B、D三點的圓交CB的延長線于點E.

（1）求證：AE=CE；

（2）若EF與過 A、B、D三點的圓相切于點E，交AC的延長

線于點F，若CD=CF=2cm，求過 A、B、D三點的圓的直徑。

Answer 1

解：（1）證明：連接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，

∴AE是過 A、B、D三點的圓的直徑．          

∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．

又∵D是AC的中點，∴DE是AC的垂直平分線．

∴AE=CE．                                  

（2）∵CD=CF=2cm，∴AF=AC+CF=6cm.

∵EF與過 A、B、D三點的圓相切于點E，http://w w w.xkb1. co m

∴∠AEF=90°=∠ADE，

又∵∠DAE=∠FAE，∴△ADE∽△EFA．        

∴，即． ∴AE=2cm．