Question

【題目】如圖，已知直線的函數表達式為，它與軸、軸的交點分別為兩點．

（1）若的半徑為2，說明直線與的位置關系；

（2）若的半徑為2，經過點且與軸相切于點，求圓心的坐標；

（3）若的內切圓圓心是點，外接圓圓心是點，請直接寫出的長度．

Answer 1

【答案】（1）直線AB與⊙O的位置關系是相離；（2）（，2）或（-，2）；（3）

【解析】

（1）由直線解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，過點O作OC⊥AB于C，由三角函數定義求出OC=＞2，即可得出結論；

（2）分兩種情況：①當點P在第一象限，連接PB、PF，作PC⊥OB于C，則四邊形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②當點P在的第二象限，根據對稱性可得出此時點P的坐標；

（3）設⊙M分別與OA、OB、AB相切于C、D、E，連接MC、MD、ME、BM，則四邊形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性質得出△ABO外接圓圓心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．

解：（1）∵直線l的函數表達式為y=x+3，

∴當x=0時，y=3；當y=0時，x=4；

∴A（﹣4，0），B（0，3），

∴OB=3，OA=4，

AB==5，

過點O作OC⊥AB于C，如圖1所示：

∵sin∠BAO=，

∴，

∴OC=＞2，

∴直線AB與⊙O的位置關系是相離；

（2）如圖2所示，分兩種情況：

①當點P在第一象限時，連接PB、PF，作PC⊥OB于C，

則四邊形OCPF是矩形，

∴OC=PF=BP=2，

∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，

∴PC=，

∴圓心P的坐標為：（，2）；

②當點P在第二象限時，

由對稱性可知，在第二象限圓心P的坐標為：（-，2）．

綜上所知，圓心P的坐標為（，2）或（-，2）．

（3）設⊙M分別與OA、OB、AB相切于C、D、E，連接MC、MD、ME、BM，如圖3所示：

則四邊形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，

∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，

∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，

∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圓圓心N在AB上，

∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，

在Rt△MEN中，

MN=．