Question

如圖，已知在⊙O中，弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=8，∠CAD的度數為120°，則⊙O的半徑是

 

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Answer 1

分析：連接OC，OD，過點O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，則四邊形OGEF是矩形，OG=EF．再由垂徑定理求出AF=5，從而得出EF=OG=3，然后由等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠OCD=30°，最后在△OCD中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出OC=2OG=6．

解答：解：連接OC，OD，過點O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G．則四邊形OGEF是矩形，OG=EF．
∵AE=2，EB=8，∴AB=10．
∵OF⊥AB于F，∴AF=

1

2

AB=5，∴EF=AF-AE=3=OG．
∵∠CAD=120°，∴∠COD=360°-2×120°=120°，
又∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODG=30°．
∵OG⊥CD于G，∴OC=2OG=6．
即⊙O的半徑是6．
故答案為6．

點評：本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及含30度角的直角三角形的性質，難度中等．關鍵是作輔助線．