Question

如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE是⊙O的切線且DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．
（1）求證：AB=AC；
（2）若⊙O的半徑為3，BE=1，求tanF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由DE是⊙O的切線，得OD⊥DE，再根據(jù)DE⊥AB，得OD∥AB，從而得出∠ODC=∠B，即可得出∠B=∠ODC，則AB=AC；
（2）由（1）可知，OD∥AE，則，代入數(shù)據(jù)求出，，再由勾股定理，得，從而得出tanF的值．
解答：（1）證明：連接OD．
∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴，
∴
∴
∴，．
在△OFD中，∵OF²=OD²+FD²，
∴，
∴．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、平行線分線段成比例定理以及銳角三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．