Question

【題目】綜合與實踐

如圖，點是正方形的邊上一點，點在線段上，將線段繞點順時針旋轉90°得到線段，連接，過點作的垂線，垂足為點，交射線于點．

探究發現

（1）如圖1，若點是線段的中點，直接寫出線段的數量關系為______；

（2）如圖2，若點不是線段的中點，線段的數量關系為______，填寫出證明過程；

（3）當，時，連接，則________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；過程見解析；（3）9或15．

【解析】

(1)由ASA證明△PEQ≌△EGD，得出PQ=ED，即可得出結論；
(2)由ASA證明△PEQ≌△EGD，得出PQ=ED，即可得出結論；
(3)①當點P在線段BC上時，點Q在線段BC上，由(2)可知：BP=EC-QC，求出DE=2，EC=4，即可得出答案；
②分類討論，當點Q在線段BC上和點Q在線段BC的延長線上，分別由全等三角形的性質得出BP，即可得出答案．

(1)BP+QC=EC；

理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
由旋轉的性質得：∠PEG=90°，EG=EP，
∴∠PEQ+∠GEH=90°，
∵QH⊥GD，
∴∠H=90°，∠G+∠GEH=90°，
∴∠PEQ=∠G，
又∵∠EPQ+∠PEC=90°，∠PEC+∠GED=90°，
∴∠EPQ=∠GED，
在△PEQ和△EGD中，

，
∴△PEQ≌△EGD(ASA)，
∴PQ=ED，
∴BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC，
即BP+QC=EC；
故答案為：BP+QC=EC；
(2) BP+QC=EC，

理由如下：
由題意得：∠PEG=90°，EG=EP，
∴∠PEQ+∠GEH=90°，
∵QH⊥GD，
∴∠H=90°，∠G+∠GEH=90°，
∴∠PEQ=∠G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，BC=DC，
∴∠EPQ+∠PEC=90°，
∵∠PEC+∠GED=90°，
∴∠GED=∠EPQ，
在△PEQ和△EGD中，

，
∴△PEQ≌△EGD(ASA)，
∴PQ=ED，
∴BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC，
即BP+QC=EC；
(3)分兩種情況：
①當點P在線段BC上時，點Q在線段BC上，

由(2)可知：BP=EC-QC，
∵AB=3DE=6，
∴DE=2，EC=4，
∴BP=4-1=3，

∴；

②當點P在線段BC上時，點Q在線段BC的延長線上，如圖所示：

由題意得：∠PEG=90°，EG=EP，
∴∠PEQ+∠GEH=90°，
∵QH⊥GD，
∴∠GHE=90°，∠G+∠GEH=90°，
∴∠PEQ=∠G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，BC=DC，
∴∠EPQ+∠PEC=90°，
∵∠PEC+∠GED=90°，
∴∠GED=∠EPQ，
在△PEQ和△EGD中，

，
∴△PEQ≌△EGD(ASA)，

∴PQ=DE=2，
∵QC=1，
∴PC=PQ-QC=1，
∴BP=BC-PC=6-1=5，

∴；
綜上所述，或．