Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊BC上兩動點，∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后得到△AFB，連接EF．下列結論：
①△AED≌△AEF，②△ABE∽△ACD，③BE+CD＞DE，④cos∠BEF=．
一定成立的有    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據等腰直角三角形的性質，可求得頂角與底角的度數；根據旋轉的性質，可得對應角與對應邊相等；根據全等三角形的判定定理即可求得①正確；
當∠1=∠3時，△ABE∽△ACD，由此可以推知②不一定正確；
根據勾股定理與等量代換可得③正確；
由①中的全等三角形的性質推知EF=ED，則根據余弦三角函數的定義證得④正確．
解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，即∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴∠4=∠3，AF=AD，
∴∠EAF=∠1+∠4=∠1+∠3=45°，
∴∠EAF=∠2，
①∵在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
故①正確；

②當∠1≠∠3時，△ABE∽△ACD不成立．故②錯誤；

③由△AED≌△AEF知DE=EF．
根據旋轉的性質知，∠5=∠C=45°，
∴∠FBE=∠5+∠ABC=90°，
∴根據勾股定理得到BE²+BF²=EF²，即BE²+BF²=DE²，
∵BE＞EF-BF，即BE＞DE-BF
∴BE²+DC²=DE²；
∴BE+DC＞DE．
故③正確；

④由①知△AED≌△AEF，則DE=EF．
∵∠FBE=90°，
∴cos∠BEF==，即cos∠BEF=．
故④正確．
綜上所述，正確的選項是：①③④．
故填：①③④．
點評：此題考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性質以及旋轉的性質．此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析．