Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一點，以O為圓心，以OB為半徑作圓，交AC于E、F，交AB于D．若E是的中點，且AE：EF=3：1，FC=4，求∠CBF的正弦值及BC的長．

Answer 1

【答案】分析：連接OE，DF，由已知可推出OE∥BF，根據平行線的性質可得到AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF⊙，設OB=r，則可求出OA，BF，AD的值，根據已知可推出BC是⊙O的切線，再利用勾股定理可求得r的值，從而可求得BC的長及∠CBF的正弦值．
解答：解：解法一：連接OE，DF；
∵E是的中點，BD是⊙O的直徑，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
設OB=r，則AO=3r，BF=r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE•AF=AD•AB，
∴3EF•4EF=2r•4r，
∴EF=r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線，
∴BC²=CF•CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC²=AC²-AB²=（4EF+4）²-（4r）²，
∴4（4+EF）=（4EF+4）²-（4r）²；（6分）
即4（4+r）=（4×r+4）²-（4r）²；
∴r=，（7分）
∴BC=；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF==，
∴sin∠CBF=．（9分）
（說明：只求出ÐCBF的正弦值給4分）

解法二：
連接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=r，EF=DE=r，CB是切線；
∵DB是直徑，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，由勾股定理，有DB²=DE²+EB²，
∴EB=r；（4分）
∵∠CBF=∠CEB，且∠C公用，
∴△CFB∽△CBE，
∴=；
由FC=4，得BC=，（7分）
∵CB2=CF•CE，
∴EF=，
∴r=，
∴BF=，AF=14；
過F點作FG∥AB，交CB于G，
∴=，
∴FG=，
在Rt△FGB中，由正弦定義，有
sin∠FBG=，
∴sin∠FBG=．（9分）
點評：此題主要考查學生對切線的判定，平行線的性質及勾股定理等知識點的綜合運用．