Question

（本小題滿分8分）
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點D、E在BC邊上（均不與點B、C重合，點D始終在點E左側），且∠DAE＝45°．
【小題1】（1）請在圖①中找出兩對相似但不全等的三角形，寫在橫線上      ，       ；
【小題2】（2）設BE＝m，CD＝n，求m與n的函數關系式，并寫出自變量n的取值范圍；
【小題3】（3）如圖②，當BE＝CD時，求DE的長；
【小題4】（4）求證：無論BE與CD是否相等，都有DE²=BD²+CE².

Answer 1

【小題1】解：（1）△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；（寫出任意兩對即可）
【小題2】（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
由（1）知△BAE∽△CDA，
∴.
∴. ∴ （）
【小題3】（3）由（2）只BE·CD＝4，
∴BE＝CD＝2.
∴BD＝BC－CD＝.
∴DE＝BE－BD＝
【小題4】（4）如圖，依題意，可以將△AEC繞點A順時針旋轉90°至△AFB的位置，
則FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，
∴∠FBD＝90°.
∴. ……………6分
∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE.
又∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△AFD≌△AED.
∴DE＝DF. ………………………………………………………………………7分
∴解析:
略