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(本小題滿分14分)
已知:如圖,拋物線與y軸交于點C(0,), 與x軸交于點A、 B,點A的坐標為(2,0).

(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P是線段AB上的動點,過點P作PD∥BC,交AC于點D,連接CP.當△CPD的面積最大時,求點P的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點Q,與直線BC交于點F,點M 的坐標為(,0).問:是否存在這樣的直線,使得△OMF是等腰三角形?若存  在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

(1)
(2)
(3)解析:
(1)由題意,得
解得.……2分
∴所求拋物線的解析式為:..……3分
(2)設點P的坐標為(x,0),過點D作DG⊥x軸于點G.
∴由,得
∴點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(-4,0)..……4分
∴AB=6,BP=2-x.
∵點P在線段AB上,
..……5分
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ABC
   
,∴


.……8分

∴當時,有最大值3,此時P..……9分
(3)存在.
在△OMF中.
①若MO=MF,∵B(-4,0),M(-2,0),故BM=OM=MF=2.
又在Rt△BOC中,OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∴∠MFB=∠OBC=45°.
∴∠BMF=90°.此時,點F的坐標為(-2,-2).
,得
此時,點Q的坐標為:..……11分
②若OF=MF,過點F作FE⊥x軸于點E,
由等腰三角形的性質得:,∴BE=3,
∴在等腰直角△BEF中,EF=BE=3.∴F(-1,-3).
,得
此時,點Q的坐標為:..……13分
③若OM=OF,∵OB=OC=4,且∠BOC=90°,∴
∴點O到BC的距離為,而OF=OM=2<
此時,不存在這樣的直線,使得△OMF是等腰三角形..……14分
綜上所述,存在這樣的直線,使得△OMF是等腰三角形.所求點Q的坐標為:
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

25.(本小題滿分14分)

如圖13,二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-1),ΔABC的面積為

(1)求該二次函數的關系式;

(2)過y軸上的一點M(0,m)作y軸上午垂線,若該垂線與ΔABC的外接圓有公共點,求m的取值范圍;

(3)在該二次函數的圖象上是否存在點D,使四邊形ABCD為直角梯形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由。

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2011廣西崇左,25,14分)(本小題滿分14分)已知拋物線y=x2+4x+mm為常數)

經過點(0,4).

(1)       求m的值;

(2)       將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線.已知平移后的拋物線滿足下述兩個條件:它的對稱軸(設為直線l2)與平移前的拋物線的對稱軸(設為直線l1)關于y軸對稱;它所對應的函數的最小值為-8.

① 試求平移后的拋物線的解析式;

② 試問在平移后的拋物線上是否存在點P,使得以3為半徑的圓P既與x軸相切,又與直線l2相交?若存在,請求出點P的坐標,并求出直線l2被圓P所截得的弦AB的長度;若不存在,請說明理由.

 

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科目:初中數學 來源:2011年廣東省蘿崗區初中畢業班綜合測試數學卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)
如圖1,拋物線y軸交于點AE(0,b)為y軸上一動點,過點E的直線與拋物線交于點BC.
 
【小題1】(1)求點A的坐標;
【小題2】(2)當b=0時(如圖2),求的面積。
【小題3】(3)當時,的面積大小關系如何?為什么?
【小題4】(4)是否存在這樣的b,使得是以BC為斜邊的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,說明理由.

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科目:初中數學 來源:2011年初中畢業升學考試(內蒙古赤峰卷)數學 題型:解答題

(2011廣西崇左,25,14分)(本小題滿分14分)已知拋物線y=x2+4x+mm為常數)

經過點(0,4).

(1)       求m的值;

(2)       將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線.已知平移后的拋物線滿足下述兩個條件:它的對稱軸(設為直線l2)與平移前的拋物線的對稱軸(設為直線l1)關于y軸對稱;它所對應的函數的最小值為-8.

①  試求平移后的拋物線的解析式;

②  試問在平移后的拋物線上是否存在點P,使得以3為半徑的圓P既與x軸相切,又與直線l2相交?若存在,請求出點P的坐標,并求出直線l2被圓P所截得的弦AB的長度;若不存在,請說明理由.

 

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