Question

如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點（E與A，D不重合），G，F，H分別是BE，BC，CE的中點．
（1）證明：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下，若EF⊥BC，且EF=BC，證明：平行四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

【答案】分析：通過中位線定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四邊形EGFH是平行四邊形；當添加了條件EF⊥BC，且EF=BC后，通過對角線相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可證明是正方形．
解答：證明：（1）∵G，F分別是BE，BC的中點，
∴GF∥EC且GF=EC．
又∵H是EC的中點，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）連接GH，

∵G，H分別是BE，EC的中點，
∴GH∥BC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位線，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四邊形EGFH是正方形．
點評：主要考查了平行四邊形的判定和正方形的性質．正方形對角線的特點是：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角．