Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由拋物線的頂點是M（1，4），
設解析式為y=a（x-1）²+4（a＜0）
又拋物線經過點N（2，3），
所以3=a（2-1）²+4，
解得a=-1
所以所求拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
得A（-1，0）B（3，0）；
令x=0，得y=3，
所以C（0，3）．

（2）證明：直線y=kx+t經過C、M兩點，
所以
即k=1，t=3，
直線解析式為y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，
∴在直角三角形COD中，根據勾股定理得：CD==．
連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F．
設過A、N兩點的直線的解析式為y=mx+n，
則，
解得m=1，n=1
所以過A、N兩點的直線的解析式為y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，
所以AN=，
所以DC=AN．
因此四邊形CDAN是平行四邊形．

（3）解：假設在x軸上方存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，
設P（1，u）其中u＞0，
則PA是圓的半徑且PA²=u²+2²過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=
由PQ²=PA²得方程：=u²+2²，
解得，舍去負值u=，符合題意的u=，
所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）．
分析：（1）根據題意中，拋物線的頂點坐標與N的坐標，可得拋物線的解析式，進而可得點A、B、C的坐標；
（2）分別求出過DM的直線，與過點AN的直線方程，可得DM與AN平行，且易得DM與AN相等；故四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）首先假設存在，根據題意，題易得：△MDE為等腰直角三角形，進而可求得P的坐標，故存在P．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．