Question

四邊形ABCD中，∠BAD=90°，DC⊥AC，AC交BD于點O，AO=AB，過B作BN∥CD交AC于E，交AD于N，下列結論：
①∠NBD=

1

2

∠ADC；②CD+BE=AD；③若AO=2CO，則BE=CD；④S_△ABD=S_△ADC，
其中正確的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AC，BN∥DC可得BN⊥AC，∠4=∠2+∠3，∠2=∠5，再利用等角的余角相等得∠EAN=∠1，由AB=AO得∠1+∠5=∠AOB，根據三角形外角性質得∠AOB=∠3+∠OAD，代換后有∠3=∠5，于是∠2+∠3=2∠5，所以∠NBD=

1

2

∠ADC；
過N點作NH⊥DC，則四邊形ENHC為矩形，根據矩形的性質得CH=EN，HN=CE，由∠3=∠5得到ND=NB，根據“AAS”可判斷△NDH≌△BNA，則NH=AB，DH=AE，而AD=DN+AN，
然后根據等相等的代換可得到AD=BE+DC；
由NH=AB，CE=NH得CE=AB，而AB=OA．則CE=AO，利用AO=2CO得CE=OC+OE=2OC，即OC=OE，然后根據“ASA”可判斷△OCD≌△OEB，于是CD=BE；
由于BC與AD不平行，則C點到AD的距離與AB不相等，然后根據三角形面積公式可得到S_△ABD≠S_△ADC．

解答：解∵CD⊥AC，BN∥DC，
∴BN⊥AC，∠4=∠2+∠3，∠2=∠5，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAN=∠1，
∵AB=AO，
∴∠1+∠5=∠AOB，
而∠AOB=∠3+∠OAD，
∴∠1+∠5=∠3+∠OAD，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠3=2∠5，
∴∠NBD=

1

2

∠ADC，所以①正確；
過N點作NH⊥DC，則四邊形ENHC為矩形，
∴CH=EN，HN=CE，
∵∠3=∠5，
∴ND=NB，
在△NDH和△BNA中

∠NHD=∠BAN ∠HDN=∠4 ND=NB

，
∴△NDH≌△BNA（AAS），
∴NH=AB，DH=AE，
∵AD=DN+AN，
∴AD=NB+DH=BE+NE+DH=BE+HC+DH=BE+DC，所以②正確；
由NH=AB，CE=NH得CE=AB，
而AB=OA，
∴CE=AO，
當AO=2CO，則CE=OC+OE=2OC，
∴OC=OE，
在△OCD和△OEB中

∠DCO=∠OEB OC=OE ∠COD=∠EOB

，
∴△OCD≌△OEB（ASA），
∴CD=BE，所以③正確；
∵BC與AD不平行，
∴C點到AD的距離與AB不相等，
∴S_△ABD≠S_△ADC，所以④錯誤．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了平行線的性質、矩形的判定與性質．