Question

己知：如圖．△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC干點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）求證：P處線段AF的中點；
（3）若⊙O的半徑為5，AF=

7

6

，求tan∠ABF的值．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質可得∠CBD=∠DBA，由圓周角定理可得∠DAC=∠CBD，繼而可得出結論；
（2）根據等角的余角相等，得出∠ADE∠ABD，結合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，繼而得出PD=PF，然后可得結論；
（3）證明△FDA∽△ADB，利用對應邊成比例，可得tan∠DAF，再由∠DAF=∠ABF，可得出答案．

解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于點E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點．

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴

DF

DA

=

AF

AB

=

7 6

10

=

7

60

，
∴tan∠ABF=tan∠DAF=

DF

DA

=

7

60

．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質及相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例，同弧所對的圓周角相等，注意數形結合思想運用．