Question

己知：如圖．△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）求證：P是線段AF的中點；
（3）若⊙O的半徑為5，AF=

15

2

，求tan∠ABF的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；
（2）首先得出∠ADB=90，再根據∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；
（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．

解答：（1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中點；

（3）解：∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴

AD

DB

=

AF

BA

，
由題意可知圓的半徑為5，
∴AB=10，
∴

AD

BD

=

AF

BA

=

15 2

10

=

3

4

，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

3

4

，
即：tan∠ABF=

3

4

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及圓周角定理和等腰三角形的性質，根據證明PD=PA以及PD=PF，得出答案是解決問題的關鍵．