Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，弦CD⊥AB，點C是

AE

的中點，AE分別交CD、BC于G、H，DC與BE的延長線交于點F，則下列說法：
①GD=GE；
②點G是△ACH的外心；
③∠COB=2∠FEC；
其中正確的是

①②③

（在橫線上填上序號）．

Answer 1

分析：①如圖，連接AD．由全等三角形的判定定理AAS易證得△CGE≌△AGD，則該全等三角形的對應邊相等，即GD=GE；
②欲證明點G是△ACH的外心，只需證明點G是AC與CH中垂線的交點即可；
③如圖，延長CO交⊙O于點G，連接BG．構建圓內接四邊形CEBG．由圓內接四邊形的內對角互補、鄰補角的定義得到∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，則易求
∠G=∠FEC．然后由圓周角定理得到∠COB=2∠FEC．

解答：解：①如圖，連接AD．
∵弦CD⊥AB，點C是

AE

的中點，
∴

AD

=

AC

=

CE

，
∴∠ACG=∠GAC，
∴CG=AG．
∴在△CGE與△AGD中，

∠CEG=∠ADG ∠CGE=∠AGD CG=AG

，
∴△CGE≌△AGD（AAS），
∴GD=GE．
故①正確；

②由①知，∠ACG=∠GAC，則點G在AC邊的中垂線上．
∵AB是直徑．
∴∠ACB=90°．
∴∠HCG=90°-∠ACG．
又∠CHA=90°-∠GAC，
∴∠HCG=∠CHA，即∠HCG=∠CHG，
∴CG=GH，
∴點G在邊CH的中垂線上．
∴點G是△ACH的外心．
故②正確；

③如圖，延長CO交⊙O于點G，連接BG．
∵∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，
∴∠G=∠FEC．
又∵∠COB=2∠G，
∴∠COB=2∠FEC．
故③正確．
故答案是：①②③．

點評：本題考查了圓的綜合題．解題中所涉及的知識點有圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關系，三角形的外心以及圓內接四邊形的性質等．此題的難點是圖中輔助線的做法．