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觀察下列各式及其驗證過程
①2
2
3
=
2+
2
3
；驗證：2
2
3
=
23
3
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

②3
3
8
=
3+
3
8
；驗證：3
3
8
=
33
8
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）參照上述等式及其驗證過程的基本思路，猜想：5
5
24
=
 
；
（2）針對上述各式所反映的一般規律，請你猜想出用n（n為自然數，且n≥2）表示的等式，并給出驗證．
分析：（1）觀察題干中式子可知5
4
25
=
5+ 
4
25
，
（2）由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
，3 
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1
，
故根據上述規律可知n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
，把二次根式外面的因式移到根號里面，變形即可．
解答：解：（1）總結規律可知5 
4
25
=
5+ 
5
24
．
（2）由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
，3 
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1
，
故根據上述規律可知：n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
（n為自然數，且n≥2）．
驗證：n
n
n2-1
=
n3
n2-1
=
n3-n+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
．
故結論成立．
點評：此題是一個找規律的題目，有一定難度，主要考查了算術平方根及二次根式的性質．觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及其驗證過程：
驗證：2
2
3
=
2+
2
3
；
驗證：2
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3
；
驗證：3
3
8
=
3+
3
8
；
驗證：3
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8
．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4
4
15
的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為任意自然數，且n≥2）表示的等式，并給出證明．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及其驗證過程
2
2
3
=
2+
2
3

驗證：2
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3
；
3
3
8
=
3+
3
8

驗證：3
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8
．
按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4
4
15
的變形結果并進行驗證．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及其驗證過程：
2+
2
3
=2
2
3
，驗證：
2+
2
3
=
8
3
=
22×2
3
=2
2
3
，
3+
3
8
=3
3
8
，驗證：
3+
3
8
=
27
8
=
32×3
8
=3
3
8
．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想
4+
4
15
的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規律，直接寫出用a（a≥2的整數）表示的等式．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及其驗證過程：2
2
3
=
2+
2
3
；，3
3
8
=
3+
3
8
•
驗證：2
2
3
=
23
3
=
23-2+2
3
=
2(22-1)+2
3
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
22-1
=
2+
2
3
；3
3
8
=
33
8
=
33-3+3
8
=
3(32-1)+3
8
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
32-1
=
3+
3
8
•
（1）按照上面結論猜想4
4
15
的結果，并寫出驗證過程；
（2）根據對上述各式規律，寫出用n（n為正整數，且n≥2）表示的等式并給出證明．

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