Question

觀察下列各式及其驗證過程：
驗證：2

2 3

=

2+ 2 3

；
驗證：2

2 3

=

23 3

=

(23-2)+2 22-1

=

2(22-1)+2 22-1

=

2+ 2 3

；
驗證：3

3 8

=

3+ 3 8

；
驗證：3

3 8

=

33 8

=

(33-3)+3 32-1

=

3(32-1)+3 32-1

=

3+ 3 8

．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4

4 15

的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為任意自然數，且n≥2）表示的等式，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）通過觀察，不難發現：等式的變形過程利用了二次根式的性質a=

a2

（a≥0），把根號外的移到根號內；再根據“同分母的分式相加，分母不變，分子相加”這一法則的倒用來進行拆分，同時要注意因式分解進行約分，最后結果中的被開方數是兩個數相加，兩個加數分別是左邊根號外的和根號內的；
（2）根據上述變形過程的規律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，注意根號外的和根號內的分子、分母之間的關系：根號外的和根號內的分子相同，根號內的分子是分母的平方減去1．

解答：解：（1）4

4 15

=

4+ 4 15

．驗證如下：
左邊=

42×4 15

=

43-4+4 42-1

=

4(42-1)+4 42-1

=

4+ 4 15

=右邊，
故猜想正確；

（2）n

n n2-1

=

n+ n n2-1

．證明如下：
左邊=

n2×n n2-1

=

n3-n+n n2-1

=

n(n2-1)+n n2-1

=

n+ n n2-1

=右邊．

點評：此題是一個找規律的題目，主要考查了二次根式的性質．觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．