Question

如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續以1為半徑在⊙O上截取AB=BC=CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  3 +2 2

  4

• D、

  3 +3

  4

Answer 1

分析：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，由AB=OA=OB=1，得到∠AOB=60°，弧AB的度數=60°，而AB=BC=CD，得弧ABD的度數=3×60°=180°，所以AD為⊙O的直徑，∠CFA=60°；再由AN=AF=OE，則AD平分NF，EF過O點，弧FD=弧FA，得到△FAD為等腰直角三角形，可得FA=

2

2

AD=

2

，在Rt△AGF中，GF=

1

2

AF=

2

2

，AG=

3

GF=

6

2

，在Rt△AGC中，CG=AG=

6

2

，最后利用三角形的面積公式即可求出△ACF面積．

解答：解：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，連OE交⊙O于N，連AN，如圖，
∵AB=OA=OB=1，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴弧AB的度數=60°，
又∵AB=BC=CD，
∴弧AB=弧BC=弧CD，
∴弧ABD的度數=3×60°=180°，
∴AD為⊙O的直徑，∠CFA=60°，
∵AN=AF=OE=

2

，∴AD平分NF，∴EF過O點，
∴弧FD=弧FA，
∴△FAD為等腰直角三角形，
∴∠FCA=∠FDA=45°，FA=

2

2

AD=

2

，
在Rt△AGF中，GF=

1

2

AF=

2

2

，AG=

3

GF=

6

2

，
在Rt△AGC中，CG=AG=

6

2

，
∴S_△ACF=

1

2

CF•AG=

1

2

×（

2

2

+

6

2

）×

6

2

=

3 +3

4

．
故選D．

點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了等腰直角三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系以及三角形的面積公式．