Question

如圖所示，PA切⊙O于點A，且PO=6，若圖中陰影部分的面積為

9

2

3

-

3

2

π，則∠P=

30°

．

Answer 1

分析：連接OA，設OA=x，AP=y，由AP為圓O的切線，利用切線的性質得到OA與AP垂直，在直角三角形AOP中，利用勾股定理列出關系式，再由陰影部分的面積由直角三角形AOP的面積減去扇形的面積，表示出陰影部分面積等于已知的面積，可得出關于x與y的另一個關系式，聯立兩關系式求出x與y的值，可得出OA等于OP的一半，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，此直角邊所對的角為30°即可求出∠P的度數．

解答：解：連接OA，設OA=x，AP=y，
∵AP為圓O的切線，
∴OA⊥AP，
在Rt△OAP中，根據勾股定理得：OA²+AP²=OP²，即x²+y²=36②，
∵S_陰影=S_△AOP-S_扇形=

1

2

xy-

nπx2

360

=

9

2

3

-

3

2

π，
∴xy=9

3

②，
聯立①②解得：x=3，y=3

3

，
∴OA=

1

2

OP，
∴∠P=30°．
故答案為：30°

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，扇形面積公式，以及直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．