Question

如果記y=

x2

1+x2

=f(x)，并且f（1）表示x=1時y的值，即f(1)=

1

1+1

=

1

2

，f(

1

2

)表示x=

1

2

時y的值，即f(

1

2

)=

1 2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，那么f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+…+f(n)+f(

1

n

)=

 

（結果用含n的代數式表示，n為正整數．）

Answer 1

分析：首先利用分式的加減運算法則求得f（n）+f（

1

n

）的值，然后利用加法的結合律，即可求得f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（n）+f（

1

n

）的值．

解答：解：∵f（n）+f（

1

n

）=

n2

1+n2

+

( 1 n )2

1+( 1 n )2

=

n2

1+n2

+

1

1+n2

=

1+n2

1+n2

=1，
∴f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（n）+f（

1

n

）=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（n）+f（

1

n

）]=

1

2

+1+1+…+1=

1

2

+（n-1）=n-

1

2

．
故答案為：n-

1

2

．

點評：此題考查了分式的加減運算法則．此題難度適中，解題的關鍵是發現規律：f（n）+f（

1

n

）=1，然后利用加法的結合律求解即可．