Question

如圖，A，B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A，B重合），我們稱∠APB是⊙O上關于A、B的滑動角

（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=      °；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數；
（2）已知O₂是⊙O₁外一點，以O₂為圓心作一個圓與⊙O₁相交于A、B兩點，∠APB是⊙O₁上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系，直接寫出結論．

Answer 1

(1) ①90°②∠APB=135°
（2）∠APB=∠MAN-∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB－180°；
∠APB=180°－∠MAN－∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB

試題分析：（1）①90°
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB= ，∴OA²+OB²=AB²
∴∠AOB=90°。
當點P在優弧 AB 上時（如圖1），∠APB= ∠AOB=45°；

當點P在劣弧 AB 上時（如圖2），

∠APB= （360°－∠AOB）=135°。
（2）根據點P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．
第一種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四種情況：點P在⊙O2內，如圖6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。
點評：難度中等，關鍵在于分類討論，區分點P在優弧和劣弧上兩種情況討論。