Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣5，0），B（1，0），C（0，）三點

（1）填空：拋物線的解析式是　　；

（2）①在拋物線的對稱軸上有一點P，使PB+PC的值最小，求點P的坐標；

②點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以B，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x -2x+ ；（2）①點P的坐標是（﹣2，）;②存在 ，滿足題目條件的點N共有三個，分別為（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

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【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+5）（x﹣1），再把C（0，）代入求出a的值，整理即可求得拋物線的解析式；（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則P點即為所求，用待定系數法求得直線AC的解析式，由此即可求得點P的坐標；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況求點N的坐標即可.

（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+5）（x﹣1），

把（0，）代入得：﹣5a=，a=﹣，

∴拋物線的解析式是：y=﹣x -2x+；

故答案為： y=﹣x -2x+；

（2）①由題意知，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點A，如圖1，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則P點即為所求．

設直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意，得，解得，

∴直線AC的解析式為：y=x+，

∵拋物線：y=﹣=﹣（x﹣2）2+，

∴對稱軸是x=﹣2，

∴當x=﹣2時，y=x+=，

∴點P的坐標是（﹣2，）．

②存在

（ i）當存在的點N在x軸的上方時，如圖2所示，

∵四邊形BCNM1或四邊形CNBM2是平行四邊形，

∴CN∥x軸，

∴點C與點N關于對稱軸x=﹣2對稱，

∵C點的坐標為（0，），

∴點N的坐標為（﹣4，）

（ II）當存在的點N在x軸下方時，如圖3所示，作NH⊥x軸于點H，

∵四邊形BCMN是平行四邊形，

∴BC=MN，∠NMH=∠CBO，

∴Rt△CBO≌Rt△NMH，

∴NH=OC．

∵點C的坐標為（0，），

∴NH=，即N點的縱坐標為﹣，

∴﹣=﹣即x2+4x﹣10=0，

解得（就是點N1），，

∴點N的坐標為（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個，分別為（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．