Question

如圖，已知BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求證：=；
（2）如果sin∠FBC=，AB=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求得∠C=∠ABF，通過同圓中相等的圓周角對應的弧相等，可證明=；
（2）利用sin∠FBC=，AB=4，設DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x，利用Rt△ABD中的勾股定理列方程求解即可AD=8x=8．
解答：（1）證明：連接AF、AC，則∠F=∠C，
∵AE=BE，
∴∠DAB=∠ABE．
∵∠BAD=∠C=90°-∠ABD，
∴∠C=∠ABF．
∴=．

（2）解：∵sin∠FBC=，AB=4，
∴設DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x．
在Rt△ABD中，（8x）²+（4x）²=AB²=80
解得x=1．
所以AD=8x=8．
點評：主要考查了圓中的有關性質．要掌握其中的相交弦定理，圓心角，弧，圓周角之間的關系和勾股定理的運用是解題的關鍵．