Question

已知一個三角形的周長和面積分別是84、210，一個單位圓在它的內部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是______（結果保留準確值）．

Answer 1

如圖；
設△ABC的內切圓半徑為R，△DEF的內切圓半徑為r；
依題意有：

1

2

×84×R=210，即R=5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R=4：5，
∴C_△DEF=

4

5

C_△ABC=67.2；
易知：被圓滾過的三角形內部的三角形也和△ABC相似；
且其內切圓半徑為：R-2=3，即其面積=(

3

5

)2S_△ABC=75.6；
由圖知：S_{四邊形AHDG}=2S_△AGD=AG•1=AG，同理S_{四邊形PEQB}=BQ，S_{四邊形CNFM}=CM；
∴S_{四邊形AHDG}+S_{四邊形PEQB}+S_{四邊形CNFM}=AG+CM+BQ=

1

2

（C_△ABC-C_△DEF）=8.4；
而S_扇形DHG+S_扇形PEQ+S_扇形FMN=S_單位圓=π，
∴所求的面積=75.6+8.4-π=84-π．