Question

（2007•福州質檢）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、AC為底邊向三角形ABC的外側作等腰三角形ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．
試探究線段FD、FE的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析：本題的解題思路是通過利用等腰三角形的性質，構建平行四邊形，再根據平行四邊形的判定，證明所構建的圖形是平行四邊形，再根據平行四邊形對角線互相平分從而得出答案．

解答：解：FD=FE，
證明：過點D作DN⊥AB于N，連接NE．
∵DA=DB，DN⊥AB，
∴BN=AN，
過N作NE⊥AC，于點G，連接EG，
∴∠NGA=90°，
∵∠BCA=90°，
∴NG∥BC，
∵BN=AN，
∴CG=GA，
∵CE=AE，
∴EG⊥AC，
∴N、G、E在一條直線上，
∵DA⊥CA，NE⊥AC，
∴NE∥AD，
又∵DN⊥AB，EA⊥BA，
∴DN∥EA，
∴四邊形DNEA是平行四邊形，
∴DF=EF（平行四邊形對角線互相平分）．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定等知識點，在做題時要注意隱含條件的運用．