Question

（2002•黃石）如圖，已知△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E．過D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）求四邊形ABDE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點．OD為中位線，則OD∥AC，根據DF⊥AC可得OD⊥DF．得證；
（2）S_{四邊形ABDE}=S_△ABC-S_△DCE．易求S_△ABC，關鍵求S_△DCE．根據切割線定理可求CE；根據等積法可求DF．則可求S_△DCE．
解答： （1）證明：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中點，
∴BD=5．
連接OD；
由中位線定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線．

（2）解：由割線定理，得CE•CA=CD•CB，即
CE×13=5×10，得CE=．
∵S_△ACD=AD•DC=AC•DF，即13•DF=12×5，
∴DF=，
∴S_{四邊形ABDE}=S_△ABC-S_△DCE=×10×12-××=．
點評：此題考查了切線的判定、圖形的面積計算等知識點，難度中等．