Question

（2012•煙臺）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAC=

2

5

，求

S△CBD

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圓周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，則可證得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可證得CF是⊙O的切線；
（2）由垂徑定理可得CE=DE，即可得S_△CBD=2S_△CEB，由△ABC∽△CBE，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，易求得△CBE與△ABC的面積比，繼而可求得

S△CBD

S△ABC

的值．

解答：（1）證明：連接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S_△CBD=2S_△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴

S△CBE

S△ABC

=(

BC

AB

)2=（sin∠BAC）²=(

2

5

)2=

4

25

．
∴

S△CBD

S△ABC

=

8

25

．

點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、相似三角形的判定與性質以及圓周角定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．