Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，AC=，DC=3，O是邊AB上一動點（O與點A和B不重合），以OA為半徑的⊙O與AB相交于點E．
（1）若⊙O經過點D，求證：BC與⊙O相切；
（2）試求在（1）中⊙O的半徑OA的長度；
（3）請分別寫出⊙O與BC所在直線相交和相離時OA的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；
（2）連接DE，在直角△ADC中，通過解直角三角形求得∠DAC的度數，即求得∠BAD的度數，在直角△AED中，解直角三角形即可求得AE的長；
（3）圓心O到直線BC的距離等于OA時，直線與圓相切，然后根據直線與圓的位置關系的確定方法，即可確定．
解答：解：（1）證明：如圖，連接OD．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°．
∴BC是⊙O的切線．

（2）∵在Rt△ACD中，AD==6
∴CD=
∴∠CAD=∠DAB=30°
連接ED，
∵AE為⊙O的直徑
∴∠ADE=90°
∴ED=
∴，
即⊙O的半徑OA的長度是2．

（3）當時⊙O與BC所在直線相離
當2時⊙O與BC所在直線相交．
點評：本題考查了切線的判定，以及直線與圓的位置關系的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．