Question

（2009•麗水）如圖，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D．
（1）尺規作圖：過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；
（2）求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；
（3）若過A，D，C三點的圓的半徑為，則線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為CD⊥AC，所以以AD為直徑作圓即為⊙O；
（2）BC過半徑OC外端點C，要證BC是過A，D，C三點的圓的切線，只證OC⊥BC即可．
（3）通過證明△BDP∽△BCO，再利用相似比即可求得DP的長．
解答：（1）解：作AD中點O（1分）
以點O為圓心，OA長為半徑作圓．（1分）

（2）證明：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直徑．（1分）
連接OC，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°．
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．（1分）
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．（1分）
∴BC⊥OC．
∴BC是⊙O的切線．（1分）

（3）解：存在．（1分）
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B．
即DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=，
∴BD=．（1分）
解法一：①過點D作DP₁∥OC，則△P₁DB∽△COB，．
∵BO=BD+OD=，
∴P₁D=×OC=×=．（1分）
②過點D作DP₂⊥AB，則△BDP₂∽△BCO，
∴．
∵BC=，
∴P₂D=×OC==1．（1分）
解法二：①當△BP₁D∽△BCO時，∠DP₁B=∠OCB=90°，
在Rt△BP₁D中，DP₁=BD•sin30°=．（1分）
②當△BDP₂∽△BCO時，∠P₂DB=∠OCB=90°，
在Rt△BP₂D中，DP₂=BD•tan30°=1．（1分）
點評：此題考查相似三角形的判定，外接圓作法及切線的判定的綜合運用．