Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長線段），O為AB的中點，P為AC延長線上的一

個動點，線段PB的垂直平分線交線段OC于點E，D為垂足，當P點運動時，給出下列四個結論：

①E為△ABP的外心；   ②△PBE為等腰直角三角形；

③PC·OA = OE·PB；    ④CE + PC的值不變.

A．1個       B．2個    Ｃ．3個         D．4個

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴CO垂直平分AB；

又∵DE平分PB，即E點是AB、BP兩邊中垂線的交點，

∴E點是△ABP的外心，故①正確；

②如圖，連接AE；

由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；

∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，

由三角形內角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，

∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；

③∵∠PBE=∠ABC=45°，

∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，

又∵∠EOB=∠PCB=90°，

∴△BPC∽△BEO，得：PC/OE =BC/OB ，即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC；

故③錯誤；

④過E作EM⊥OC，交AC于M；

易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；

∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，

又∵EC=ME，PE=BE，

∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；

由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不變，故④正確；

因此正確的結論是①②④，故選C．