Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長線段），O為AB的中點，P為AC延長線上的一個動點，線段PB的垂直平分線交線段OC于點E，D為垂足，當P點運動時，給出下列四個結論：
①E為△ABP的外心；②△PBE為等腰直角三角形；
③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不變．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①由于外心是三角形三邊中垂線的交點，顯然點E是AB、BP兩邊中垂線的交點，因此符合△ABP外心的要求，故①正確；
②此題要通過①的結論來求，連接AE，根據三角形的外心的性質可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再結合三角形的內角和定理進行求解即可；
③此題顯然要通過相似三角形來求解，由于OA=OB，那么可通過證△OEB∽△CPB來判斷③的結論是否正確；
④此題較簡單，過E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的結論可轉化為證PM是否為定值，觀察圖形，可通過證△PEM、△BEC是否全等來判斷．
解答：解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E點是AB、BP兩邊中垂線的交點，
∴E點是△ABP的外心，故①正確；
②如圖，連接AE；
由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形內角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：，即PC•OB=OE•BC?PC•OA=OE•BC；
故③錯誤；
④過E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不變，故④正確；
因此正確的結論是①②④，故選C．
點評：此題主要考查了三角形的外接圓、等腰直角三角形的性質、全等三角形及相似三角形的相關知識等，綜合性強，難度較大．