Question

已知⊙O，半徑為6米，⊙O外一點P，到圓心O的距離為10米，作射線PM，PN，使PM經過圓心O，PN與⊙O相切，切點為H．
（1）根據上述條件，畫出示意圖；
（2）求PH的長；
（3）有兩動點A，B，同時從點P出發，點A以5米/秒的速度沿射線PM方向運動，點B以4米/秒的速度沿射線PN方向運動．設運動的時間為t（秒）．當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）根據已知畫圖即可；
（2）PN與⊙O相切于點H，OH⊥PN，即∠OHP=90°，在直角△OPQ中根據勾股定理就可以求出PH的值；
（3）過點O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POH，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：（1）根據已知畫出示意圖（圖一）：

（2）連接OH（圖二），
∵PN與⊙O相切于點H，
∴OH⊥PN，
即∠OHP=90°，
∵OP=10，OH=6，
∴PH=

102-62

=8（cm）．

（3）過點O作OC⊥AB，垂足為C（圖三圖四），
∵點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PH=8，
∴

PA

PO

=

PB

PH

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PHO=90°，
∵∠BHO=∠CBH=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBH為矩形．
∴BH=OC．
∵⊙O的半徑為6，
∴BH=OC=6時，直線AB與⊙O相切．
①當AB運動到如圖三所示的位置，
BH=PH-PB=8-4t，
∵BH=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．
②當AB運動到如圖四所示的位置，
BH=PB-PH=4t-8，
∵BH=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切．

點評：本題主要考查了圓的切線的性質，切線垂直于過切點的半徑．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．