Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點E，AD=8㎝，BC=4㎝，AB=5㎝.從初始時刻開始，動點P沿著P、Q分別從點A，B同時出發，運動速度均為1㎝/s，動點P沿A—B—C—E的方向運動，到點E停止；動點Q沿B—C—E—D的方向運動，到點D停止，設運動時間為s，△PAQ的面積為㎝².（這里我們把線段的面積看作是0）

解答下列問題

（1）當=2s時，=      ㎝²，當s時，=       ㎝²；

（2）當5≤≤14時，求與之間的函數關系式；

（3）當動點P在線段BC上運動時，求出_梯形ABCD時的值；

（4）直接寫出整個運動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）2，9；（2）當5≤≤9時，，當9＜≤13時，，當13＜≤14時，；（3）=7；（4），，.

【解析】

試題分析：（1）當x=2s時，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，當s時，三角形PAQ的高就是4，底為4.5，由三角形的面積公式可以求出其解．

（2）當5≤≤14 時，求y與x之間的函數關系式．要分為三種不同的情況進行表示：當5≤≤9時，當9＜≤13時，當13＜≤14時．

（3）可以由已知條件求出S_梯形ABCD，然后根據條件求出y值，代入當5≤x≤9時的解析式就可以求出x的值．

（4）利用相似三角形的性質，相似三角形的對應線段成比例就可以求出對應的x的值．

（1）當x=2s時，AP=2，BQ=2

∴

當s時，AP=4.5，Q點在EC上

∴；

（2）當5≤≤9時

y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=（5+x-4）×4-×5（x-5）-（9-x）（x-4）

當9＜≤13時

y=（x-9+4）（14-x）

當13＜≤14時

y=×8（14-x）

；

（3）當動點P在線段BC上運動時

∵y=S_梯形ABCD=×（4+8）×5=8

∴8=x²-7x+，即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7

∴當x=7時，y=S_梯形ABCD

（4）設運動時間為x秒，

當PQ∥AC時，BP=5-x，BQ=x，

此時△BPQ∽△BAC，

故，即，

解得；

當PQ∥BE時，PC=9-x，QC=x-4，

此時△PCQ∽△BCE，

故，即，

解得；

當PQ∥BE時，EP=14-x，EQ=x-9，

此時△PEQ∽△BAE，

故，即，

解得．

由題意得x的值為：，，．

考點：二次函數的綜合題

點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.