Question

已知關于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若這個方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；
（3）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）將x=1代入方程，得到關于k的方程，求出即可，
（3）寫出兩根之積，兩根之積等于m，進而求出m的最小值．
解答：解：（1）由題意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0
化簡得-2k+10≥0，解得k≤5．
（2）將1代入方程，整理得k²-6k+6=0，解這個方程得，．
（3）設方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為x₁，x₂，
根據題意得m=x₁x₂．又由一元二次方程根與系數的關系得x₁x₂=k²-4k-1，
那么m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，當k=2時m取得最小值-5．
點評：一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．