Question

計(jì)算

1

2+ 1 3+ 1 4+ 1 …+ 1 2007

+

1

1+ 1 1+ 1 3+ 1 4+ 1 …+ 1 2007

．

Answer 1

分析：首先推理出a-1+

1

a

=

a2-a+1

a

，a-2+

1

a-1+ 1 a

=a-2+

a

a2-a+1

=

a3- 3a2+3a-2

a2-a+1

=

a3+1- 3(a2-a+1)

a2-a+1

=a-2，于是我們可以得到

1

2005+ 1 2006+ 1 2007

=

1

2005

，

1

2003+ 1 2004+ 1 2005

=

1

2003

，按理求出所要計(jì)算的式子的值．

解答：解：首先推理：a-1+

1

a

=

a2-a+1

a

，
a-2+

1

a-1+ 1 a

=a-2+

a

a2-a+1

=

a3- 3a2+3a-2

a2-a+1

=

a3+1- 3(a2-a+1)

a2-a+1

=a-2，
于是可以推出

1

2005+ 1 2006+ 1 2007

=

1

2005

，

1

2003+ 1 2004+ 1 2005

=

1

2003

，…，

1

3+ 1 4+ 1 5

=

1

3

，

1

2+ 1 3

=

3

7

，

1

1+ 1 3

=

3

4

，

1

1+ 3 4

=

4

7

，
故

1

2+ 1 3+ 1 4+ 1 …+ 1 2007

+

1

1+ 1 1+ 1 3+ 1 4+ 1 …+ 1 2007

=

3

7

+

4

7

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有理數(shù)無(wú)理數(shù)的概念與運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是證明a-1+

1

a

=

a2-a+1

a

，a-2+

1

a-1+ 1 a

=a-2+

a

a2-a+1

=

a3- 3a2+3a-2

a2-a+1

=

a3+1- 3(a2-a+1)

a2-a+1

=a-2這一步，此題難度較大．