Question

（2002•麗水）如圖，在⊙O中，直徑BC為10，點A是⊙O上的一個點，∠ABC的平分線交⊙O于點E，交AC于點F．過點E作⊙O的切線，交BC的延長線于慮D，連接CE．
（1）求證：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的長；
（3）如果點A由點B出發，在⊙O的圓周上運動，當點A在什么位置時，AE與BD互相平行？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據角平分線的性質可知∠ABE=∠EBC，=，由圓周角定理可得∠ABE=∠ACE，由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC，故∠ACE=∠DEC；
（2）由（1）可知=，因為AB=AE，所以==，故A、E三等分，故三段弧所對的圓周角等于30°，再根據直角三角形及相似三角形的性質即可解答；
（3）由（2）可知，當==，即A、E三等分時，AE與BD互相平行．
解答：（1）證明：∵AE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠EBC，=；
又∵∠ABE=∠ACE，∠DEC=∠EBC，
∴∠ACE=∠DEC．

（2）解：∵=，AB=AE，
∴==，故A、E三等分，
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°，AE∥BD；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，故AB=BC=×10=5，故AB=AE=CE=5，
AC=BE===5，
△AEF∽△CBF，設AF=x，則=，即=，
解得x=，即AF=；

（3）解：由（2）可知，當==，即A、E三等分時，AE與BD互相平行．
點評：此題比較復雜，涉及到圓周角的性質定理及直角三角形的性質，是中學階段的重點內容．