Question

【題目】如圖，在正方形ABCD內有一點P，PA＝5，PB＝，PC＝，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°．

（1）畫出旋轉后的圖形；

（2）求點C和點P′的距離．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，△ABP'即為所求；見解析；（2）點C和點P′的距離為3．

【解析】

（1）根據旋轉的性質將圖形進行旋轉作圖即可解決.

（2）根據旋轉的性質和勾股定理求出AP'2+PP'2的值與AP2的值進行比較，然后確定△APP'是直角三角形，然后角角之間的關系求∠CPP'的度數，根據平角的定義得到P'，P，C三點共線，最后求CP′的長度即可.

（1）分別將BP、BC繞點B逆時針旋轉90°，依次連接即可，如圖所示，△ABP'即為所求；

（2）由旋轉可得△BCP≌△BAP'，

∴AP'＝CP＝，BP'＝BP＝，∠ABP'＝∠CBP，

∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝90°，

∴∠PBP'＝∠ABP+∠ABP'＝90°，

∴Rt△PBP'中，PP'＝＝2，∠BP'P＝∠BPP'＝45°，

∴AP'2+PP'2＝5+20＝25，

又∵AP2＝25，

∴AP'2+PP'2＝AP2，

∴△APP'是直角三角形，且∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝135°，

∴∠BPC＝135°，

∴∠CPP'＝135°+45°＝180°，即P'，P，C三點共線，

∴CP'＝PP'+CP＝2＝3，

即點C和點P′的距離為3．