Question

如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延長線于F．
（1）若∠B+∠DCF=180°，求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）若E是線段CD的中點，且CF：CB=1：3，AD=6，求梯形ABCD中位線的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠DCB+∠DCF=180°，
又∵∠B+∠DCF=180°，
∴∠B=∠DCB．
∵四邊形ABCD是梯形，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F．
∵E是線段CD的中點，
∴DE=CE．
又∵∠DEA=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∵CF：BC=1：3，
∴AD：BC=1：3．
∵AD=6，
∴BC=18．
∴梯形ABCD的中位線=（18+6）÷2=12．
分析：（1）根據等角的補角相等即可證明梯形的兩個底角相等，從而證明了該梯形是等腰梯形；
（2）發現全等三角形，根據全等三角形的性質證明AD=CF，從而得到上下底之間的關系，求得下底長，再根據梯形的中位線定理進行計算．
點評：考查了等腰梯形的判定、全等三角形的判定和性質、梯形的中位線定理．