Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D點，且BD交AC于E點，問當BD滿足什么條件時，CD=BE？并證明你的判斷．

Answer 1

解：當BD是∠ABC的平分線時，CD=BE，
理由是：延長BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根據三角形的內角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中
，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=CF=BE，
即當BD是∠ABC的平分線時，CD=BE．
分析：延長BA和CD交于F，求出∠ABE=∠FCA，根據ASA證△ABE≌△ACF，求出BE=CF，證△FBD≌△CBD，推出CD=DF即可．
點評：本題考查了對等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的應用，關鍵是正確作輔助線后構造全等的三角形，通過做此題培養了學生的閱讀問題和分析問題的能力，題型較好．