Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．
（1）試說明：PB是⊙O的切線；
（2）已知⊙O的半徑為，AB=2，求PA的長．

Answer 1

解：（1）連接OB，OP，交AB于點D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圓，
∴AC是⊙O的直徑，
又∵PA與⊙O相切，
∴∠OAP=90°，在△OAP和△OBP中
，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
即OB⊥BP．
又∵點B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．

（2）∵∠ABC=∠OBP=90°，
∴∠OBC=∠ABP，
又∵OC=OB，PA=PB，
∴∠OCB=∠OBC=∠ABP=∠BAP，
∴△OCB∽△PAB，
∴即，
而在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴BC=2
∴PA=．
分析：（1）連接OB，OP，交AB于點D，根據SSS證△OAP≌△OBP，推出∠OBP=∠OAP=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出BC長，證△OBC∽△PAB，得出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，切線的判定，勾股定理等知識點的運用，主要培養學生的推理能力，題目具有一定的代表性，難度也適中．