Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，問：
（1）幾秒后△PBQ的面積等于8平方厘米？
（2）幾秒后PQ的長為3厘米？
（3）幾秒后△ABC與△BPQ相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）設經過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根據三角形的面積公式得出方程 ×（6-x）×2x=8，求解即可；
（2）設y秒后PQ的長為3厘米，則BP=6-y，BQ=2y，根據勾股定理得出方程 （6-y）²+（2y）²=（3）²，求解即可；
（3）設經過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，根據兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況 BP：AB=BQ：BC和第二種情況 BP：BC=BQ：AB，代入求出即可．
解答：解：（1）設經過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：經過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．

（2）設y秒后PQ的長為3厘米，
則BP=6-y，BQ=2y，
 （6-y）²+（2y）²=（3）²，
解得y₁=3，y₂=-（舍去），
答：3秒后PQ的長為3厘米；

（3）解：設經過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當 BP：AB=BQ：BC時，△PBQ與△ABC相似，
∴（6-a）：6=2a：8，
解得：a=2.4，
第二種情況：當 BP：BC=BQ：AB時，△PBQ與△ABC相似，
∴（6-a）：8=2a：6，
∴a=，
答：如果點P、Q分別從A、B同時出發，經過2.4或秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．
點評：本題考查了相似三角形的判定以及一元二次方程的應用、三角形面積的求法，是中考壓軸題，難度較大．